Андрей Васильевич Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде. Его отец – Василий Дмитриевич Мягков – был заместителем директора Ленинградского полиграфического техникума по учебно-воспитательной работе, кандидатом технических наук, педагогом и организатором учебного процесса. Работал в техникуме с 1935 по 1954 год, а в 1954 году перешел в Технологический институт доцентом.
Мать — Зинаида Александровна Мягкова — с 1946 по 1968 год работала в Ленинградском полиграфическом техникуме инженером-механиком. Кроме Андрея, в семье росла сестра Татьяна.
Ребенком Мягков пережил блокаду. Однажды они всей семьей хотели перебраться на другой берег Невы на катере. Для матери и сестры Андрея места нашлись, а вот для них с отцом – нет. И тогда они все вместе решили остаться на берегу. На середине реки катер разбомбили.
Андрей окончил Ленинградский химико-технологический институт (ныне — Санкт-Петербургский государственный технологический институт), недолгое время работал в Институте пластических масс. Во время любительского спектакля «Лесная песня» его заметил один из педагогов Школы-студии МХАТ, и предложил ему попробовать силы у них.
В 1965 году он успешно окончил курс Василия Петровича Маркова и стал тогда же актером театра «Современник». Одной из первых его ролей стала роль Дядюшки в постановке «Дядюшкин сон». Затем последовали спектакли «На дне», «Балалайкин и Ко», «Обыкновенная история», «Большевики» и многие другие.
В 1973-м году его пригласили на роль Нестора Петровича в комедийном телефильме «Большая перемена». Интересно, что готов был согласиться на эту роль Мягков только при одном условии – учителя Светлану Афанасьевну должна была сыграть его жена Анастасия Вознесенская. Но режиссер был против, и роль досталась Михаилу Кононову.
Настоящая народная любовь Мягкову пришла немного позже, когда он сыграл Анатолия Ефремовича Новосельцева в фильме «Служебный роман» и Женю Лукашина в фильме «Ирония судьбы, или С легким паром!». Неуклюжий и милый герой Мягкова стал собирательным образом советского интеллигента. Казалось, что актеру даже не пришлось играть – так гармонично подошла ему эта роль, но при этом сам Андрей Васильевич роль эту недолюбливал, никогда не пересматривал ленту и считал ежегодные повторы картины в новогоднюю ночь насилием над зрителем.
После развала Советского Союза почти перестал сниматься в кино. Вел уединенный образ жизни, увлекался живописью и писал детективные романы.
Мягков был женат один раз. Детей у супругов не было.